Formule pour calculer le score Z
Le score Z des données brutes fait référence au score généré en mesurant le nombre d'écarts types au-dessus ou en dessous de la moyenne de la population des données, ce qui aide à tester l'hypothèse considérée. En d'autres termes, c'est la distance entre un point de données et la moyenne de la population qui est exprimée en multiple de l'écart type.
- Les scores z varient de -3 fois l'écart type (extrême gauche de la distribution normale) à +3 fois l'écart type (extrême droite de la distribution normale).
- Les scores z ont une moyenne de 0 et un écart-type de 1.
L'équation du score z d'un point de données est calculée en soustrayant la moyenne de la population du point de données (appelé x ), puis le résultat est divisé par l'écart type de la population. Mathématiquement, il est représenté par,
Score Z = (x - μ) / ơ
où
- x = point de données
- μ = moyenne
- ơ = écart type
Calcul du score Z (étape par étape)
L'équation du score z d'un point de données peut être dérivée en utilisant les étapes suivantes:
- Étape 1: Tout d'abord, déterminez la moyenne de l'ensemble de données en fonction des points de données ou des observations, qui sont désignés par x i , tandis que le nombre total de points de données dans l'ensemble de données est noté N.
- Étape 2: Ensuite, déterminez l'écart type de la population sur la base de la moyenne de la population μ, des points de données x i et du nombre de points de données dans la population N.
- Étape 3: Enfin, le score z est dérivé en soustrayant la moyenne du point de données, puis le résultat est divisé par l'écart type, comme indiqué ci-dessous.
Exemples
Exemple 1
Prenons l'exemple d'une classe de 50 élèves qui ont passé le test de sciences la semaine dernière. Aujourd'hui est le jour des résultats, et l'enseignant de la classe m'a dit que John avait obtenu 93 points au test alors que le score moyen de la classe était de 68. Déterminez le score z pour la note du test de Jean si l'écart type est de 13.
Solution:
Donné,
- Note au test de Jean, x = 93
- Moyenne, μ = 68
- Écart type, ơ = 13
Par conséquent, le score z pour le score du test de John peut être calculé en utilisant la formule ci-dessus comme suit:
Z = (93 - 68) / 13
Le score Z sera -
Score Z = 1,92
Par conséquent, le score Ztest de John est de 1,92 écart type au-dessus du score moyen de la classe, ce qui signifie que 97,26% de la classe (49 élèves) ont obtenu un score inférieur à John.
Exemple # 2
Prenons un autre exemple détaillé de 30 étudiants (car le test z n'est pas approprié pour moins de 30 points de données) qui sont apparus pour un test en classe. Déterminer le score du test z pour le 4 e élève de sur la base des notes obtenues par les élèves sur 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66, 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.
Solution:
Donné,
- x = 65,
- 4 e élève a obtenu un score = 65,
- Nombre de points de données, N = 30.
Moyenne = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Moyenne = 71,30
Maintenant, l'écart type peut être calculé en utilisant la formule comme indiqué ci-dessous,
ơ = 13,44
Par conséquent, Z-score de la 4 ème étudiant peut être calculé selon la formule ci - dessus,
Z = (x - x) / s
- Z = (65-30) / 13,44
- Z = -0,47
Par conséquent, le score du 4 e élève est de 0,47 écart type en dessous du score moyen de la classe, ce qui signifie que 31,92% de la classe (10 élèves) ont obtenu un score inférieur au 4 e élève selon le tableau des scores z.
Score Z dans Excel (avec modèle Excel)
Prenons maintenant le cas évoqué dans l'exemple 2 pour illustrer le concept de z-score dans le modèle Excel ci-dessous.
Vous trouverez ci-dessous des données pour le calcul du score Z.
Vous pouvez vous référer à la feuille Excel ci-dessous pour le calcul détaillé des statistiques de test de formule de score Z.
Pertinence et utilisations
Du point de vue du test d'hypothèse, le score z est un concept très important à comprendre car il est utilisé pour tester si une statistique de test se situe ou non dans la plage de valeurs acceptable. Le z-score est également utilisé pour standardiser les données avant l'analyse, calculer la probabilité d'un score ou la comparaison de deux ou plusieurs points de données, qui proviennent de distributions normales différentes. Il existe diverses applications du z-score dans tous les domaines si elles sont appliquées correctement.
