Fonction Totient d'Euler - Signification, exemples, comment calculer?

Quelle est la fonction Totient d'Euler?

La fonction Totient d'Euler est constituée des fonctions multiplicatives mathématiques qui comptent les entiers positifs jusqu'à l'entier donné généralement appelé `` n '' qui sont un nombre premier à `` n '' et la fonction est utilisée pour connaître le nombre de nombres premiers qui existent jusqu'à la étant donné l'entier «n».

Explication

Pour savoir combien de nombres premiers arrivent à l'entier 'n' donné, la fonction Totient d'Euler est utilisée. Elle est également appelée fonction arithmétique. Pour une application ou une utilisation de la fonction Totient d'Euler, deux choses sont importantes. L'un est que le pgcd formé à partir de l'entier donné «n» doit être multiplicatif l'un par rapport à l'autre, et l'autre est que les nombres de pgcd ne doivent être que les nombres premiers. L'entier 'n' dans ce cas doit être supérieur à 1. A partir d'un entier négatif, il n'est pas possible de calculer la fonction Totient d'Euler. Le principe, dans ce cas, est que pour ϕ (n), les multiplicateurs appelés m et n doivent être supérieurs à 1. Ainsi notés par 1

L'histoire

Euler a introduit cette fonction en 1763. Initialement, Euler a utilisé le grec π pour la dénotation de la fonction, mais à cause de certains problèmes, sa dénotation du grec π n'a pas obtenu la reconnaissance. Et il n'a pas réussi à lui donner le signe de notation approprié, c'est-à-dire ϕ. Par conséquent, la fonction ne peut pas être introduite. De plus, ϕ a été tiré des Disquisitiones Arithmeticae de Gauss de 1801. La fonction est également appelée fonction phi. Mais JJ Sylvester, en 1879, a inclus le terme totient pour cette fonction en raison des propriétés et des utilisations des fonctions. Les différentes règles sont conçues pour traiter différents types d'entiers donnés comme si l'entier p est un nombre premier, alors quelle règle à appliquer, etc. toutes les règles encadrées par Euler sont praticables et peuvent être utilisées même aujourd'hui tout en traitant le même.

Propriétés de la fonction Totient d'Euler

Il y a quelques-unes des différentes propriétés. Certaines des propriétés de la fonction totient d'Euler sont les suivantes:

  • Φ est le symbole utilisé pour désigner la fonction.
  • La fonction traite de la théorie des nombres premiers.
  • La fonction n'est applicable que dans le cas d'entiers positifs.
  • Pour ϕ (n), deux nombres premiers multiplicatifs doivent être trouvés pour calculer la fonction.
  • La fonction est une fonction mathématique et utile à bien des égards.
  • Si l'entier 'n' est un nombre premier, alors pgcd (m, n) = 1.
  • La fonction fonctionne sur la formule 1 <m <n où m et n sont les nombres premiers et les nombres multiplicatifs.
  • En général, l'équation est
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1 à 1 / m) (1 à 1 / n)
  • La fonction compte essentiellement le nombre d'entiers positifs inférieurs à l'entier donné, qui est des nombres relativement premiers par rapport à l'entier donné.
  • Si l'entier p est premier, alors ϕ (p) = p - 1
  • Si la puissance de p est première alors, si a = p n est une puissance première alors ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) n'est pas un - un
  • ϕ (n) n'est pas activé.
  • ϕ (n), n> 3 est toujours pair.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Calculer la fonction Totient d'Euler

Exemple 1

Calculer ϕ (7)?

Solution:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Comme tous les nombres sont premiers à 7, il est donc facile de calculer le ϕ.

Exemple # 2

Calculer ϕ (100)?

Solution:

Comme 100 est un grand nombre, il faut donc du temps pour calculer de 1 à 100 les nombres premiers qui sont des nombres premiers avec 100. Par conséquent, nous appliquons la formule ci-dessous:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1 à 1 / m) (1 à 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Exemple # 3

Calculer ϕ (240)?

Les multiples de 240 sont 16 * 5 * 3 soit 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1 à 1 / m) (1 à 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

si n M n'est pas un nombre premier, on utilise n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Exemple # 4

Calculer ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1 à 1 / m) (1 à 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Applications

Les différentes applications sont comme ci-dessous:

  • La fonction est utilisée pour définir le système de cryptage RSA utilisé pour le cryptage de sécurité Internet.
  • Utilisé dans la théorie des nombres premiers.
  • Utilisé également dans les gros calculs.
  • Utilisé dans les applications de la théorie élémentaire des nombres.

Conclusion

La fonction totient d'Euler est utile à bien des égards. Il est utilisé dans le système de cryptage RSA, qui est utilisé à des fins de sécurité. La fonction traite de la théorie des nombres premiers, et elle est également utile dans le calcul de gros calculs. La fonction est également utilisée dans les calculs algébriques et les nombres élémentaires. Le symbole utilisé pour désigner la fonction est ϕ, et il est également appelé fonction phi. La fonction consiste en une utilisation plus théorique que pratique. L'utilisation pratique de la fonction est limitée. La fonction peut être mieux comprise à travers les divers exemples pratiques plutôt que seulement des explications théoriques. Il existe différentes règles pour calculer la fonction totient d'Euler, et pour différents nombres, différentes règles doivent être appliquées. La fonction a été introduite pour la première fois en 1763, mais en raison de certains problèmes,il a été reconnu en 1784 et le nom a été modifié en 1879. La fonction est une fonction universelle et peut être appliquée partout.

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