Formule pour calculer la distribution normale standard
La distribution normale standard est un type de distribution de probabilité symétrique par rapport à la moyenne ou à la moyenne, indiquant que les données proches de la moyenne ou de la moyenne se produisent plus fréquemment par rapport aux données éloignées de la moyenne ou de la moyenne. Un score sur la distribution normale standard peut être appelé «score Z».
La formule de distribution normale standard est représentée ci-dessous:
Z - Score = (X - µ) / σ
Où,
- X est une variable aléatoire normale
- µ est la moyenne ou la moyenne
- σ est l'écart type
Ensuite, nous devons dériver la probabilité du tableau ci-dessus.
Explication
La distribution normale standard dans les mots d'ordre appelée distribution Z a les propriétés suivantes:
- Il a une moyenne ou dit la moyenne de zéro.
- Il a un écart type, qui est égal à 1.
En utilisant le tableau normal standard, nous pouvons trouver les aires sous la courbe de densité. Le score Z est douloureux sur la distribution normale standard et doit être interprété comme le nombre d'écarts types où le point de données est inférieur ou supérieur à la moyenne ou à la moyenne.
Un score Z négatif indique un score inférieur à la moyenne ou à la moyenne, tandis qu'un score Z positif indique que le point de données est supérieur à la moyenne ou à la moyenne.
La distribution normale standard suit la règle 68-95-99.70, qui est également appelée la règle empirique, et selon cette soixante huit pour cent des données données ou les valeurs doivent se situer dans un écart type de la moyenne ou de la moyenne, tandis que quatre-vingt-quinze pour cent doivent être compris dans 2 écarts-types, et enfin, les quatre-vingt-dix-neuf virgule sept pour cent de la valeur ou des données doivent être compris dans les 3 écarts-types de la moyenne ou de la moyenne.
Exemples
Exemple 1
Considérez la moyenne qui vous est donnée comme 850, l'écart type étant de 100. Vous devez calculer la distribution normale standard pour un score supérieur à 940.
Solution:
Utilisez les données suivantes pour le calcul de la distribution normale standard.
Ainsi, le calcul du score z peut être effectué comme suit:
Z - score = (X - µ) / σ
= (940 - 850) / 100
Le score Z sera -
Score Z = 0,90
En utilisant maintenant le tableau ci-dessus de la distribution normale standard, nous avons une valeur de 0,90 comme 0,8159, et nous devons calculer le score au-dessus de celui qui est P (Z> 0,90).
Nous avons besoin du bon chemin vers la table. Par conséquent, la probabilité serait de 1 à 0,8159, ce qui est égal à 0,1841.
Ainsi, seulement 18,41% des scores sont supérieurs à 940.
Exemple # 2
Sunita suit des cours privés pour les matières mathématiques, et actuellement, elle compte environ 100 étudiants inscrits sous elle. Après le 1 er essai , elle a pris pour ses élèves, elle a obtenu le nombre moyen suivants, marqués par eux, et les ont classé percentiles sage.
Solution:
Tout d'abord, nous traçons ce que nous ciblons, qui est le côté gauche du remède. P (Z <75).
Utilisez les données suivantes pour le calcul de la distribution normale standard.
Pour cela, nous devons d'abord calculer la moyenne et l'écart type.
Le calcul de la moyenne peut être effectué comme suit:
Moyenne = (98 + 40 + 55 + 77 + 76 + 80 + 85 + 82 + 65 + 77) / 10
Moyenne = 73,50
Le calcul de l'écart type peut être effectué comme suit:
Écart type = √ (∑ (x - x) / (n-1))
Écart type = 16,38
Ainsi, le calcul du score z peut être effectué comme suit:
Z - score = (X - µ) / σ
= (75 - 73,50) / 16,38
Le score Z sera -
Score Z = 0,09
En utilisant maintenant le tableau ci-dessus d'une distribution normale standard, nous avons une valeur de 0,09 comme 0,5359 et c'est la valeur de P (Z <0,09).
Ainsi, 53,59% des élèves ont obtenu un score inférieur à 75.
Exemple # 3
Vista Limited est une salle d'exposition d'équipement électronique. Il souhaite analyser son comportement de consommateur. Il compte environ 10 000 clients dans toute la ville. En moyenne, le client dépense 25 000 pour sa boutique. Cependant, les dépenses varient considérablement car les clients dépensent de 22 000 à 30 000 et la moyenne de cet écart autour de 10 000 clients que la direction de Vista Limited a mis au point est d'environ 500.
La direction de Vista Limited vous a contacté, et ils sont intéressés de savoir quelle proportion de leurs clients dépensent plus de 26 000? Supposons que les chiffres des dépenses des clients soient normalement distribués.
Solution:
Tout d'abord, nous traçons ce que nous ciblons, qui est le côté gauche du remède. P (Z> 26 000).
Utilisez les données suivantes pour le calcul de la distribution normale standard.
Le calcul du score z peut être effectué comme suit:
Z - score = (X - µ) / σ
= (26 000 - 25 000) / 500
Le score Z sera-
Score Z = 2
Le calcul de la distribution normale standard peut être effectué comme suit:
La distribution normale standard sera-
Maintenant, en utilisant le tableau ci-dessus de la distribution normale standard, nous avons une valeur pour 2,00, qui est 0,9772, et maintenant nous devons calculer pour P (Z> 2).
Nous avons besoin du bon chemin vers la table. Par conséquent, la probabilité serait de 1 à 0,9772, ce qui est égal à 0,0228.
D'où 2,28% des consommateurs dépensent plus de 26000.
Pertinence et utilisation
Pour prendre une décision éclairée et appropriée, il faut convertir tous les scores sur une échelle similaire. Il faut normaliser ces scores, en les convertissant tous en distribution normale standard en utilisant la méthode du score Z, avec un seul écart type et une seule moyenne ou la moyenne. Il est principalement utilisé dans le domaine des statistiques et aussi dans le domaine de la finance que par les commerçants.
De nombreuses théories statistiques ont tenté de modéliser les prix de l'actif (dans les domaines de la finance) sous l'hypothèse principale qu'ils suivront ce type de distribution normale. Les distributions de prix ont généralement tendance à avoir des queues plus grosses et, par conséquent, à avoir un kurtosis, qui est supérieur à 3 dans les scénarios réels. Il a été observé que ces actifs présentent des mouvements de prix supérieurs à 3 écarts types au-delà de la moyenne ou de la moyenne et plus souvent que l'hypothèse attendue dans une distribution normale.
