Qu'est-ce que la distribution log-normale?
Une distribution log-normale est une distribution continue de variables aléatoires dont les logarithmes sont distribués normalement. En d'autres termes, la distribution log-normale est générée par la fonction de e x , où x (variable aléatoire) est supposée être distribuée normalement. Dans le logarithme naturel de e x est le x, les logarithmes des variables aléatoires lognormalement distribuées sont normalement distribués.
Une variable X est normalement distribuée si Y = ln (X), où ln est le logarithme naturel.
- Y = e x
- Supposons un logarithme naturel des deux côtés.
- lnY = ln e x qui se traduit par lnY = x
Par conséquent, nous pouvons dire que si X étant une variable aléatoire a une distribution normale, alors Y a une distribution log-normale.
Formule de distribution log-normale
La formule de la fonction de densité de probabilité de la distribution log-normale est définie par la moyenne μ et l'écart-type σ, qui est désigné par:
Paramètres de la distribution log-normale
La distribution log-normale est caractérisée par les trois paramètres suivants:
- σ , l'écart type du logarithme de la distribution, également appelé paramètre de forme. Le paramètre de forme affecte généralement la forme globale de la distribution log-normale, mais il n'a pas d'impact sur l'emplacement et la hauteur du graphique.
- m , la médiane de la distribution, également appelée paramètre d'échelle.
- Θ , le paramètre de localisation utilisé pour localiser le graphique sur l'axe des x.
La moyenne et l'écart type sont deux paramètres majeurs de la distribution log-normale, et il est explicitement défini par ces deux paramètres.
La figure suivante illustre la distribution normale et la distribution log-normale.
À partir de la figure ci-dessus, nous pourrions noter les caractéristiques suivantes de la distribution log-normale.
- Les distributions log-normales sont positivement biaisées vers la droite en raison des valeurs moyennes plus faibles et de la variance plus élevée des variables aléatoires dans les considérations.
- La distribution log-normale est toujours bornée par le bas par 0 car elle aide à modéliser les prix des actifs, qui ne devraient pas porter de valeurs négatives.
- La distribution log-normale est biaisée positivement avec un grand nombre de petites valeurs et comprend quelques valeurs majeures, ce qui fait que la moyenne est très souvent supérieure au mode.
À partir de la figure ci-dessus, nous avons pu observer que la distribution log-normale est limitée par 0, et elle est positivement biaisée vers la droite, ce qui pourrait être remarqué par sa longue queue vers la droite. Ces deux observations sont considérées comme les principales propriétés des distributions log-normales. En pratique, les distributions log-normales se sont avérées très utiles dans la distribution des prix des actions ou des actifs, tandis que la distribution normale est très utile pour estimer les rendements attendus de l'actif sur une période donnée.
Exemples de distribution log-normale
Voici quelques exemples où des distributions log-normales peuvent être utilisées:
- Le volume de gaz en réserve d'énergie et de pétrole.
- Le volume de la production laitière.
- La quantité de pluie.
- Les vies potentielles des unités manufacturières et industrielles dont les chances de survie sont caractérisées par le taux de stress.
- L'étendue des périodes auxquelles une maladie infectieuse existe.
Application et utilisations de la distribution log-normale
Voici les applications et utilisations de la distribution log-normale.
- La distribution la plus couramment utilisée et la plus populaire est une distribution normale, qui est normalement distribuée et symétrique et forme une courbe en forme de cloche qui a modélisé divers naturels du simple au très complexe.
- Mais il existe des cas où la distribution normale est confrontée à des contraintes où la distribution log-normale peut être facilement appliquée. La distribution normale peut considérer une variable aléatoire négative, mais la distribution log-normale n'envisage que des variables aléatoires positives.
- Une des diverses applications où la distribution log-normale est utilisée en finance où elle est appliquée dans l'analyse des prix des actifs. Le rendement attendu des actifs est représenté graphiquement dans une distribution normale, mais les prix des actifs sont représentés graphiquement dans une distribution log-normale.
- À l'aide de la courbe de distribution log-normale, nous pouvons facilement calculer le taux de rendement composé des actifs sur une période donnée.
- Dans le cas où nous appliquions une distribution normale pour calculer les prix des actifs sur une période donnée, il existe des possibilités d'obtenir des rendements inférieurs à -100%, ce qui suppose par la suite que les prix des actifs sont inférieurs à 0. Mais si nous utilisons une distribution log-normale pour estimer le composé taux de rendement sur une période de temps, nous pouvons facilement éviter d'obtenir des rendements négatifs car la distribution log-normale ne considère que des variables aléatoires positives.
- Un prix relatif est le prix de l'actif à la fin de la période divisé par le prix initial de l'actif, qui est égal à 1 plus les rendements de la période de détention. Pour trouver la fin de l'actif du prix de la période, nous pouvons obtenir le même en le multipliant par le prix relatif multiplié par le prix initial de l'actif. La distribution log-normale ne prend qu'une valeur positive; par conséquent, le prix de l'actif à la fin de la période ne peut être inférieur à 0.
Distribution log-normale dans la modélisation des cours des actions
La distribution log-normale a été utilisée pour modéliser la distribution de probabilité des actions et de nombreux autres prix d'actifs. Par exemple, nous avons observé l'apparition d'un être log-normal dans le modèle de tarification des options de Black-Scholes-Merton, où l'on suppose que le prix d'une option d'actif sous-jacent est log-normal distribué en même temps.
Conclusion
- La distribution normale est la distribution de probabilité, que l'on dit être la courbe asymétrique et en forme de cloche. Dans une distribution normale, 69% des résultats se situent dans un écart type et 95% se situent dans les deux écarts types.
- En raison de la popularité de la distribution normale, la plupart des gens sont familiers avec le concept et l'application de la distribution normale, mais à l'époque, ils ne semblent pas également familiers avec le concept de distribution log-normale. La distribution normale peut être convertie en distribution log-normale à l'aide de logarithmes, qui devient la base fondamentale car les distributions log-normales considèrent la seule variable aléatoire qui est normalement distribuée.
- Les distributions lognormales peuvent être utilisées conjointement avec la distribution normale. Les distributions log-normales sont le résultat de l'hypothèse du logarithme naturel ln dans lequel la base est égale à e = 2,718. En plus de la base donnée, la distribution log-normale pourrait être faite en utilisant une autre base, ce qui aurait par la suite un impact sur la forme de la distribution log-normale.
- La distribution log-normale trace le journal des variables aléatoires normalement distribuées à partir des courbes de distribution normale. Le ln, le log naturel est connu e, exposant auquel une base doit être élevée pour obtenir la variable aléatoire x désirée, qui pourrait être trouvée sur la courbe de distribution normale.
