Qu'est-ce que la courbe de rendement bootstrapping?
Le bootstrapping est une méthode pour construire une courbe de rendement à coupon zéro. Les exemples de bootstrap suivants donnent un aperçu de la construction d'une courbe de rendement. Bien que toutes les variations ne puissent pas être expliquées, il existe de nombreuses méthodes d'amorçage en raison des différences dans les conventions utilisées.
Top 3 des exemples de courbe de rendement bootstrap dans Excel
Voici des exemples de courbe de rendement bootstrap dans Excel.
Exemple 1
Considérez différentes obligations d'une valeur nominale de 100 $, avec un rendement à l'échéance égal au taux du coupon. Les détails du coupon sont les suivants:
| Maturité | 0,5 an | 1 année | 1,5 an | 2 ans |
| Rendement à l'échéance | 3% | 3,50% | 4,50% | 6% |
Solution:
Désormais, pour un coupon zéro d'une maturité de 6 mois, il recevra un seul coupon équivalent au rendement obligataire. Par conséquent, le taux au comptant de l'obligation à coupon zéro à 6 mois sera de 3%.
Pour une obligation à 1 an, il y aura deux flux de trésorerie, à 6 mois et à 1 an.
Le flux de trésorerie à 6 mois sera (3,5% / 2 * 100 = 1,75 $) et le flux de trésorerie à 1 an sera (100 + 1,75 = 101,75 $) soit le paiement du principal plus le paiement du coupon.
A partir de la maturité de 0,5 an, le taux au comptant ou le taux d'actualisation est de 3% et supposons que le taux d'actualisation pour une maturité de 1 an soit x%, alors
- 100 = 1,75 / (1 + 3% / 2) 1 + 101,75 / (1 + x / 2) 2
- 100-1,75 / (1 + 3% / 2) = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- 98,2758 = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- (1 + x% / 2) 2 = 101,75 / 98,2758
- (1 + x% / 2) 2 = 1,0353
- 1 + x% / 2 = (1,0353) (1/2)
- 1 + x% / 2 = 1,0175
- x% = (1,0175-1) * 2
- x% = 3,504%
En résolvant l'équation ci-dessus, nous obtenons x = 3,504%
Maintenant, toujours pour une échéance obligataire de 2 ans,
- 100 = 3 / (1 + 3% / 2) 1 + 3 / (1 + 3,504% / 2) 2 + 3 / (1 + 4,526% / 2) 3 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100 = 2,955665025 + 2,897579405 + 2,805211867 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100-8,658456297 = 103 / (1 + x / 2) 4
- 91,3415437 = 103 / (1 + x / 2) 4
- (1 + x / 2) 4 = 103 // 91,3415437
- (1 + x / 2) 4 = 1,127635858
- (1 + x / 2) = 1,127635858 (1/4)
- (1 + x / 2) = 1,030486293
- x = 1,030486293-1
- x = 0,030486293 * 2
- x = 6,097%
En résolvant x, nous obtenons, x = 6,097%
De même, pour une échéance obligataire de 1,5 an
100 = 2,25 / (1 + 3% / 2) 1 + 2,25 / (1 + 3,504 / 2) 2 + 102,25 / (1 + x / 2) 3
En résolvant l'équation ci-dessus, nous obtenons x = 4,526%
Ainsi, les courbes de rendement nul amorcées seront:
| Maturité | Taux zéro |
| 0,5 an | 3% |
| 1 année | 3,50% |
| 1,5 an | 4,53% |
| 2 ans | 6,10% |
Exemple # 2
Considérons un ensemble d'obligations à coupon zéro d'une valeur nominale de 100 $, avec une échéance de 6 mois, 9 mois et 1 an. Les obligations sont à coupon zéro, c'est-à-dire qu'elles ne paient aucun coupon pendant la durée du mandat. Les prix des obligations sont les suivants:
| Maturité | Prix ($) | |
| Mois | 6 | 99 |
| Mois | 9 | 98,5 |
| An | 1 | 97,35 |
Solution:
Considérant une convention de taux linéaire,
FV = Prix * (1+ r * t)Où r est le taux du coupon zéro, t est le temps
Ainsi, pour une durée de 6 mois:
- 100 = 99 * (1 + R 6 * 6/12)
- R 6 = (100/99 - 1) * 12/6
- R 6 = 2,0202%
Pour un mandat de 9 mois:
- 100 = 99 * (1 + R 9 * 6/12)
- R 9 = (100 / 98,5 - 1) * 12/9
- R 9 = 2,0305%
Pour un mandat d'un an:
- 100 = 97,35 * (1 + R 12 * 6/12)
- R 12 = (100 / 97,35 - 1) * 12/12
- R 12 = 2,7221%
Par conséquent, les taux de rendement à coupon zéro bootstrap seront:
| Maturité | Coupon zéro (tarifs) |
| 6 mois | 2,02% |
| 9 mois | 2,03% |
| 1 année | 2,72% |
Notez que la différence entre le premier et le deuxième exemple est que nous avons considéré les taux de coupon zéro comme étant linéaires dans l'exemple 2 alors qu'ils sont composés dans l'exemple 1.
Exemple # 3
Bien qu'il ne s'agisse pas d'un exemple direct de courbe de rendement bootstrap, il faut parfois trouver le taux entre deux échéances. Considérons la courbe de taux zéro pour les échéances suivantes.
| Maturité | Coupon zéro (tarifs) |
| 6 | 2,50% |
| 1 année | 3,50% |
| 3 années | 5% |
| 4 ans | 5,50% |
Maintenant, si l'on a besoin du taux zéro coupon pour une maturité de 2 ans, il doit interpoler linéairement les taux zéro entre 1 an et 3 ans.
Solution:
Calcul du taux d'actualisation zéro coupon pour 2 ans -
Taux de coupon zéro pour 2 ans = 3,5% + (5% - 3,5%) * (2-1) / (3 - 1) = 3,5% + 0,75%
Taux de coupon zéro pendant 2 ans = 4,25%
Par conséquent, le taux d'actualisation à coupon zéro à utiliser pour l'obligation à 2 ans sera de 4,25%
Conclusion
Les exemples bootstrap donnent un aperçu de la façon dont les taux nuls sont calculés pour le prix des obligations et autres produits financiers. Il faut examiner correctement les conventions du marché pour calculer correctement les taux nuls.
